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Modelos de Colas y aplicación

Se puede aplicar una gran variedad de modelos de colas en los problemas de operaciones. Vamos a ver con detalle 4 de los más utilizados. Hay otros muchos más complejos y que pueden desarrollarse mediante la utilización de la simulación.

Los 4 modelos que presento a continuación tienen 3 características comunes que los definen:

  • Llegadas que siguen una distribución de Poisson.
  • Disciplina FIFO.
  • Un servicio de una fase.

Además, todos ellos describen sistemas de servicios que operan en condiciones permanentemente estables, lo que significa que los ritmos de llegada y servicio permanecen estables durante el análisis.

En la notacion de la teoría de colas, la primera letra de cada modelo hace referencia a las llegadas (M representa la distribución de Poisson). La segunda letra del nombre del modelo hace referencia al servicio (M es, de nuevo, la distribución de Poisson, que es lo mismo que una tasa exponencial de servicio, y una D es una tasa de servicio constante). El tercer símbolo hace referencia al número de servidores.

MODELO A (M/M/1): MODELO DE COLA DE CANAL ÚNICO, CON LLEGADAS DE POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES.

Es el caso más habitual de problemas de colas, canal único o servidor único. Las unidades que llegan al sistema forman una cola única que será atendida por un puesto o estación única.

Se dan las siguientes condiciones, ya comentadas:

  • las llegadas son atendidas sobre la base FIFO, y cada llegada espera a ser atendida, independientemente de la longitud de la cola.
  • las llegadas son independientes de las llegadas anteriores, pero el número medio de llegadas (ritmo o tasa de llegadas) no cambia en el tiempo.
  • las llegadas siguen una distribución de probabilidades de Poisson, y proceden de una población infinita.
  • los tiempos de servicio varían de un cliente a otro, y son independientes uno de otro, pero se conoce su ritmo medio.
  • los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidades exponencial negativa.
  • el ritmo de servicio es más rápido que el ritmo de llegada.

Cuando se cumplen estas condiciones, las ecuaciones que resuleven el sistema de colas son las mostradas a continuación.

fórmulas modelo 1

Practica lo descrito con algún ejemplo concreto. En el submenú de “Casos prácticos” dispones de algunos de cada modelo explicado.

MODELO B (M/M/S): MODELO DE COLA CON MÚLTIPLES CANALES.

Un sistema de cola con múltiples canales, es aquel en el que dos o más servidores o canales están disponibles para atender a los clientes que llegan.

Seguiremos dando por sentado que los clientes a la espera de ser atendidos forman una cola única y, a continuación, pasan al primer servidor disponible. Las líneas de espera multicanal y de una sola fase se encuentran en la mayor parte de los negocios de atención directa al público.

De nuevo damos por sentado que las llegadas siguen una distribución de probabilidad de Poisson, y que los tiempos de servicio se distribuyen exponencialmente. El servicio es primero que llega primero en ser atendido, y se supone que todos los servidores funcionan al mismo ritmo. Los demás supuestos expuestos con anterioridad son igualmente vigentes.

Las ecuaciones de este modelo de colas son, obviamente, más complejas que las que se utilizan en el modelo de canal único y, sin embargo, se utilizan exactamente de la misma forma y proporcionan el mismo tipo de información que el modelo más sencillo.

fórmulas modelo 2

Practica lo descrito con algún ejemplo concreto. En el submenú de “Casos prácticos” dispones de algunos de cada modelo explicado.

MODELO C (M/D/1): MODELO DE TIEMPO DE SERVICIO CONSTANTE.

Algunos sistemas de servicio tienen tiempos de servicio constantes en lugar de estar exponencialmente distribuidos. Cuando se procesan clientes o equipos según un ciclo fijo, es adecuado considerar que los tiempos de servicio son constantes.

Dado que los ritmos constantes son fijos, los valores para Lq, Wq, Ls y Ws son siempre menores de lo que serían en el Modelo A, que tiene las tasas de servicio variables.

Tanto la longitud media de la cola como el tiempo medio de espera en la cola, se reducen a la mitad con el Modelo C. Las f´romulas del modelo de servicio constante, son las que presento a continuación. En la literatura sobre colas, la nomenclatura de este modelo es M/D/1.

fórmulas modelo 3

Practica lo descrito con algún ejemplo concreto. En el submenú de “Casos prácticos” dispones de algunos de cada modelo explicado.

MODELO D: MODELO DE POBLACIÓN LIMITADA.

Cuando hay una población limitada de clientes potenciales para una instalación de servicio, debemos ocnsiderar un modelo diferente de colas. EL modelo de población limitada permite considerar cualquier número de servidores.

Este modelo difiere de los tres anteriores porque ahora hay una relación dependiente entre la longitud de la cola y el ritmo de llegada. Entonces, conforme la cola se hace más larga en el modelo de población limitada, el ritmo de llegadas de clientes o máquinas disminuye.

Se emplea también, para este modelo, una notación diferente de la de los modelos A, B y C. Para simplificar lo que podría convertirse en unos cálculos que necesitarían mucho tiempo, se han desarrollado tablas de colas finitas, que determinan D y F (una pequeña parte de dichas tablas puedes verla en el apartado de casos prácticos, donde hemos añadido también un ejemplo de este modelo)

  • D representa la probabilidad de que una máquina o cliente que tienen que ser atendidos, deban esperar en la cola.
  • F es un factor de eficiencia del tiempo de espera.

D y F son necesarias para calcular la mayoría de las demás fórmulas del modelo finito, que presento a continuación. fórmulas modelo 4-1fórmulas modelo 4-2

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